題目

9. 在極座標系統內，

r=\dfrac{\pi}{4}

，

r=\dfrac{\pi}{2}

，

r=\theta

，和

r=\dfrac{1}{2}\theta

所圍成區域的面積為

\underline{\quad\quad}

。

解答

展開

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當 $\frac\pi4\le\theta\le\frac\pi2$ 時，區域介於 $r=\frac\pi4$ 與 $r=\theta$ ；當 $\frac\pi2\le\theta\le\pi$ 時，區域介於 $r=\frac\theta2$ 與 $r=\frac\pi2$ 。因此面積為

\begin{align*} A =&\,\frac12\int_{\pi/4}^{\pi/2}\left(\theta^2-\frac{\pi^2}{16}\right)\,\mathrm{d}\theta +\frac12\int_{\pi/2}^{\pi}\left(\frac{\pi^2}{4}-\frac{\theta^2}{4}\right)\,\mathrm{d}\theta\\[4mm] =&\,\frac12\left[\frac{\theta^3}{3}-\frac{\pi^2\theta}{16}\right]_{\pi/4}^{\pi/2} +\frac12\left[\frac{\pi^2\theta}{4}-\frac{\theta^3}{12}\right]_{\pi/2}^{\pi}\\[4mm] =&\,\boxed{\frac{7\pi^3}{192}}. \end{align*}