題目

Problem

二、計算題

(a) $R$ 的面積等於多少？

(b) 將 $R$ 繞 $x$ 軸旋轉所得的體積為多少？ $(16\%)$

解答

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兩條曲線為

y=\frac1x, \qquad y=\frac{x}{x^2+1}.

當 $x\ge1$ 時，前者在上。

(a) 面積

\begin{align*} A =&\,\int_1^\infty\left(\frac1x-\frac{x}{x^2+1}\right)\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\lim_{b\to\infty}\left[\ln x-\frac12\ln(x^2+1)\right]_1^b =\boxed{\frac12\ln2}. \end{align*}

(b) 旋轉體體積

墊圈的外、內半徑分別為 $\frac1x$ 、 $\frac{x}{x^2+1}$ ，故

\begin{align*} V =&\,\pi\int_1^\infty\left[\frac1{x^2}-\frac{x^2}{(x^2+1)^2}\right],\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\pi\left[-\frac1x-\frac12\arctan x+\frac{x}{2(x^2+1)}\right]_1^\infty\\[4mm] =&\,\boxed{\pi\left(\frac34-\frac\pi8\right)}. \end{align*}