題目 3. ∫03(∫−9−x2021+x2+y2 dy) dx=‾。\int_0^3\left(\int_{-\sqrt{9-x^2}}^0 \frac{2}{1+\sqrt{x^2+y^2}}\,dy\right)\,dx=\underline{\quad\quad}。∫03(∫−9−x201+x2+y22dy)dx=。 解答 解法一 思路 展開 積分區域是半徑 333 的右下四分之一圓盤；被積函數只含 x2+y2\sqrt{x^2+y^2}x2+y2，適合改用極座標。 答題過程 展開 在極座標下，0≤r≤30\le r\le30≤r≤3、−π2≤θ≤0-\frac\pi2\le\theta\le0−2π≤θ≤0，且 dA=r dr dθ\mathrm{d}A=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\thetadA=rdrdθ。故 ∫−π/20∫032r1+r dr dθ= π2⋅2[r−ln(1+r)]03= π(3−ln4).\begin{align*} \int_{-\pi/2}^0\int_0^3\frac{2r}{1+r}\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta =&\,\frac\pi2\cdot2\left[r-\ln(1+r)\right]_0^3\\[4mm] =&\,\boxed{\pi(3-\ln4)}. \end{align*}∫−π/20∫031+r2rdrdθ==2π⋅2[r−ln(1+r)]03π(3−ln4).
