題目

2. 設曲面

S:x^2+y^2+z^2=10

上點

(x,y,z)

的溫度為

T(x,y,z)=2xy+4yz

。試問最高溫度與最低溫度為何？發生在何處？

(14\%)

解答

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T=\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&2\\0&2&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}.

此矩陣的特徵值為 $\sqrt5,0,-\sqrt5$ 。在 $x^2+y^2+z^2=10$ 上，極值為 $10$ 倍的最大、最小特徵值：

$T_{\max}=10\sqrt5,\qquad T_{\min}=-10\sqrt5.$

對應單位方向可取 $(1,\sqrt5,2)/\sqrt{10}$ 及 $(1,-\sqrt5,2)/\sqrt{10}$ ，故

\boxed{T_{\max}=10\sqrt5\text{，發生於 }\pm(1,\sqrt5,2)};

\boxed{T_{\min}=-10\sqrt5\text{，發生於 }\pm(1,-\sqrt5,2)}.