題目 9. 求逐次積分 ∫01(∫3y3ex2 dx) dy。\int_0^1\left(\int_{3y}^{3}e^{x^2}\,dx\right)\,dy。∫01(∫3y3ex2dx)dy。 解答 解法一 思路 展開 原積分區域由 0≤y≤10\le y\le10≤y≤1、3y≤x≤33y\le x\le33y≤x≤3 給出；換序後先積分 yyy，可避免處理 ex2e^{x^2}ex2 的非初等原函數。 答題過程 展開 換序後 0≤x≤30\le x\le30≤x≤3、0≤y≤x30\le y\le\frac{x}{3}0≤y≤3x，故 ∫01∫3y3ex2 dx dy= ∫03∫0x/3ex2 dy dx= 13∫03xex2 dx=e9−16.\begin{align*} \int_0^1\int_{3y}^3e^{x^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =&\,\int_0^3\int_0^{x/3}e^{x^2}\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\frac13\int_0^3xe^{x^2}\,\mathrm{d}x =\boxed{\frac{e^9-1}{6}}. \end{align*}∫01∫3y3ex2dxdy==∫03∫0x/3ex2dydx31∫03xex2dx=6e9−1.
