題目 2. 假設函數 fff 定義為：f(0)=0f(0)=0f(0)=0，並且當 x≠0x\ne 0x=0 時， f(x)=x+x2sin(1x)，f(x)=x+x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right)，f(x)=x+x2sin(x1)， 求一階導數 f′(0)f'(0)f′(0)。 解答 解法一 思路 展開 直接使用 x=0x=0x=0 的導數定義，利用 ∣sin(1/x)∣≤1|\sin(1/x)|\le1∣sin(1/x)∣≤1 夾擠多出的項。 答題過程 展開 f′(0)=limx→0f(x)−f(0)x=limx→0(1+xsin1x)=1.f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}x =\lim_{x\to0}\left(1+x\sin\frac1x\right)=\boxed1.f′(0)=x→0limxf(x)−f(0)=x→0lim(1+xsinx1)=1.
