題目 10. 在圓錐面 z=x2+y2z=\sqrt{x^2+y^2}z=x2+y2 之上方與球面 x2+y2+z2=1x^2+y^2+z^2=1x2+y2+z2=1 之下方所圍成的立體區域，求它的體積。 解答 解法一 思路 展開 在球坐標中，圓錐 z=rz=rz=r 對應極角 ϕ=π4\phi=\frac\pi4ϕ=4π；所求區域是單位球內且 0≤ϕ≤π40\le\phi\le\frac\pi40≤ϕ≤4π 的球扇形。 答題過程 展開 V= ∫02π∫0π/4∫01ρ2sinϕ dρ dϕ dθ= 2π3(1−22)=π3(2−2).\begin{align*} V =&\,\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/4}\int_0^1\rho^2\sin\phi\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\phi\,\mathrm{d}\theta\\[4mm] =&\,\frac{2\pi}{3}\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right) =\boxed{\frac\pi3(2-\sqrt2)}. \end{align*}V==∫02π∫0π/4∫01ρ2sinϕdρdϕdθ32π(1−22)=3π(2−2).
