題目 8. DDD 在第一卦限內，曲線 y2=xy^2=xy2=x、y=π2y=\dfrac{\pi}{2}y=2π、y=πy=\piy=π 和 x=0x=0x=0 所圍封閉區域，問 ∬Dsin(xy) dA=‾。\iint_D \sin\left(\frac{x}{y}\right)\,dA=\underline{\quad\quad}。∬Dsin(yx)dA=。 解答 解法一 答題過程 展開 ∬Dsinxy dA= ∫π/2π∫0y2sinxy dx dy= ∫π/2πy(1−cosy) dy=3π28+π2+1.\begin{align*} \iint_D\sin\frac{x}{y}\,\mathrm{d}A =&\,\int_{\pi/2}^{\pi}\int_0^{y^2}\sin\frac{x}{y}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\\[4mm] =&\,\int_{\pi/2}^{\pi}y(1-\cos y)\,\mathrm{d}y =\boxed{\frac{3\pi^2}{8}+\frac\pi2+1}. \end{align*}∬DsinyxdA==∫π/2π∫0y2sinyxdxdy∫π/2πy(1−cosy)dy=83π2+2π+1.
