題目

Problem

一、填充題：共 8 題，每題 8 分，共 64 分。

We say that the two commodities are substitute commodities if a decrease in the demand for one results in an increase in the demand for the other. Conversely, two commodities are referred to as complementary commodities if a decrease in the demand for one results in a decrease in the demand for the other as well. Suppose that the demand equations that relate the quantities demanded $x$ and $y$ to the unit prices $p$ and $q$ of the commodities A and B respectively are given by $x = f(p, q) = \frac{q^2}{q + p^2}$ and $y = g(p, q) = e^{-2q + p}$ . Are A and B substitute, complementary or neither?

題目勘誤

官方原題：將替代商品與互補商品定義為 “a decrease in the demand for one” 導致另一商品需求量增加或減少。

實際上應為：由題目接著以單價 $p,q$ 與交叉偏導數判定可知，兩處 demand 應為 price；降低一種商品的價格才會對另一種商品需求量造成題述的變化。

本頁保留官方原題，解答依上述已確認的正確定義處理。

解答

展開

本題要求判斷商品 A 與商品 B 是替代商品（Substitute）、互補商品（Complementary）還是兩者皆非。
第一步：計算偏導數 $\frac{\partial x}{\partial q}$ ： $x = f(p, q) = \frac{q^2}{q + p^2}$ 將其關於 $q$ 求偏導（使用商求導法則）： $\frac{\partial x}{\partial q} = \frac{2q(q+p^2) - q^2(1)}{(q+p^2)^2} = \frac{q^2 + 2qp^2}{(q+p^2)^2}$ 由於價格 $p > 0, q > 0$ ，故 $\frac{\partial x}{\partial q} > 0$ 。
第二步：計算偏導數 $\frac{\partial y}{\partial p}$ ： $y = g(p, q) = e^{-2q + p}$ 將其關於 $p$ 求偏導： $\frac{\partial y}{\partial p} = e^{-2q + p} \cdot 1 = e^{-2q + p}$ 由於指數函數值恆大於 0，故 $\frac{\partial y}{\partial p} > 0$ 。
第三步：綜合判定：因為對所有的 $p>0, q>0$ ，偏導數 $\frac{\partial x}{\partial q} > 0$ 且 $\frac{\partial y}{\partial p} > 0$ ，所以商品 A 與 B 互為替代商品 (substitute)。

展開

根據標準微積分與經濟學定義：設商品 A 與 B 的需求量分別為 $x = f(p, q)$ 與 $y = g(p, q)$ ，其中 $p$ 為商品 A 的單價， $q$ 為商品 B 的單價。

若 $\frac{\partial x}{\partial q} > 0$ 且 $\frac{\partial y}{\partial p} > 0$ ，則兩者互為替代商品 (substitute commodities)（意即商品 B 的價格上升，會使商品 A 的需求量增加）。
若 $\frac{\partial x}{\partial q} < 0$ 且 $\frac{\partial y}{\partial p} < 0$ ，則兩者互為互補商品 (complementary commodities)（意即商品 B 的價格上升，會使商品 A 的需求量減少）。

我們分別計算這兩個偏導數：

給定 $x = f(p, q) = \frac{q^2}{q + p^2}$ 。對 $q$ 求偏導：

\frac{\partial x}{\partial q} = \frac{\partial}{\partial q} \left( \frac{q^2}{q + p^2} \right)

使用商的求導法則：

\frac{\partial x}{\partial q} = \frac{(2q)(q + p^2) - (q^2)(1)}{(q + p^2)^2} = \frac{2q^2 + 2qp^2 - q^2}{(q + p^2)^2} = \frac{q^2 + 2qp^2}{(q + p^2)^2}

由於單價 $p > 0$ 且 $q > 0$ ，故分子與分母皆為正數，得：

\frac{\partial x}{\partial q} > 0

給定 $y = g(p, q) = e^{-2q + p}$ 。對 $p$ 求偏導：

\frac{\partial y}{\partial p} = \frac{\partial}{\partial p} \left( e^{-2q + p} \right) = e^{-2q + p} \cdot \frac{\partial}{\partial p}(-2q + p) = e^{-2q + p} \cdot 1 = e^{-2q + p}

因為指數函數的值恆大於零，得：

\frac{\partial y}{\partial p} > 0

因為對所有的 $p > 0$ 與 $q > 0$ ，交叉偏導數：

\frac{\partial x}{\partial q} > 0 \quad \text{且} \quad \frac{\partial y}{\partial p} > 0

這代表兩商品為替代商品 (substitute commodities)。

結論： 8. 填入 $\displaystyle \text{substitute}$ 。