題目 Problem 甲、簡答題：共 8 題，每題 8 分，共 64 分。請在答案卷上列出題號依序作答。 Evaluate ∬Rlnx2+y2 dA\displaystyle\iint_R \ln\sqrt{x^2+y^2}\,dA∬Rlnx2+y2dA where RRR is the unit disk x2+y2≤1x^2+y^2\le 1x2+y2≤1. 解答 解法一 以極座標積分，lnx2+y2=lnr\ln\sqrt{x^2+y^2}=\ln rlnx2+y2=lnr： ∬Rlnr dA=2π∫01rlnr dr=−π2.\iint_R\ln r\,\mathrm dA =2\pi\int_0^1r\ln r\,\mathrm dr =\boxed{-\frac\pi2}.∬RlnrdA=2π∫01rlnrdr=−2π.
