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109 台聯大微積分(A2) 第 5 題

考題 / 轉學考微積分 / 台聯大 / 微積分A2

109學年度 · 109微積分A2 · 第 5 題

題目

Problem

甲、簡答題：共 8 題，每題 8 分，共 64 分。請在答案卷上列出題號依序作答。

  1. Find the values of pp for which the function
f(x,y)={(xy)px4+y4,if (x,y)≠(0,0),0,if (x,y)=(0,0)f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{(xy)^p}{x^4+y^4}, & \text{if } (x,y)\ne(0,0),\\ 0, & \text{if } (x,y)=(0,0) \end{cases}

is discontinuous at (0,0)(0,0).

解答

解法一

答題過程

由不等式 ∣xy∣≤x2+y22|xy|\le\frac{x^2+y^2}{2} 與 x4+y4≥(x2+y2)22x^4+y^4\ge\frac{(x^2+y^2)^2}{2}，可估計

∣(xy)px4+y4∣≤(x2+y2)p−22p−1.\left|\frac{(xy)^p}{x^4+y^4}\right| \le\frac{(x^2+y^2)^{p-2}}{2^{p-1}}.

故 p>2p>2 時極限為 00，函數在原點連續。反之沿 y=xy=x，函數為 12x2p−4\frac12x^{2p-4}，在 p≤2p\le2 時不會趨於 00。因此不連續的 pp 為

p≤2.\boxed{p\le2}.