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109 台聯大微積分(A2) 第 10 題

考題 / 轉學考微積分 / 台聯大 / 微積分A2

109學年度 · 109微積分A2 · 第 10 題

題目

Problem

乙、計算、證明題：共 3 題，每題 12 分，共 36 分。須詳細寫出計算及證明過程，否則不予計分。

a. Determine whether the series ∑n=1∞(−1)nln⁡(1+1n)\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right) diverges or converges conditionally or converges absolutely and give reasons for your answer. (6 points)

b. Show that if ∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n converges, then ∑n=1∞(3+sin⁡(an)5)n\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{3+\sin(a_n)}{5}\right)^n converges. (6 points)

解答

(a)

令 bn=ln⁡(1+1n)b_n=\ln\left(1+\frac1n\right)。bnb_n 遞減且趨於 00，故交錯級數審斂法保證原級數收斂；但 bn∼1nb_n\sim\frac1n，所以其絕對值級數發散。因此原級數 條件收斂\boxed{\text{條件收斂}}。

(b)

因 ∑an\sum a_n 收斂，an→0a_n\to0，所以 sin⁡(an)→0\sin(a_n)\to0。取任意 rr 滿足 35<r<1\frac35<r<1，則充分大時

0<3+sin⁡(an)5≤r.0<\frac{3+\sin(a_n)}5\le r.

故尾項被 rnr^n 控制，依比較審斂法

∑n=1∞(3+sin⁡(an)5)n 收斂.\boxed{\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{3+\sin(a_n)}5\right)^n\text{ 收斂}}.