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108 台聯大微積分(A3/A4/A7) 第 9 題

考題 / 轉學考微積分 / 台聯大 / 微積分A3/A4/A7

108學年度 · 108微積分A3/A4/A7 · 第 9 題

題目

Problem

乙、計算、證明題：共 3 題，每題 12 分，共 36 分。須詳細寫出計算及證明過程，否則不予計分。

  1. Determine if the series converges or diverges.

a. ∑n=0∞e−n2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}e^{-n^2}

b. ∑n=1∞sin⁡(1/n)\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\sin(1/n)

解答

解法一

思路

  • (a) 的指數衰減比幾何級數更快，可與 ∑e−n\sum e^{-n} 比較。
  • (b) 要注意一般項 sin⁡(1/n)\sin(1/n) 與 1/n1/n 等價，故可用極限比較判別法。

答題過程

(a) 當 n≥1n\geq1 時，n2≥nn^2\geq n，所以

0<e−n2≤e−n.0<e^{-n^2}\leq e^{-n}.

而 ∑n=1∞e−n\sum_{n=1}^{\infty}e^{-n} 是公比 e−1<1e^{-1}<1 的幾何級數，故 ∑n=0∞e−n2\sum_{n=0}^{\infty}e^{-n^2} 收斂。

(b)

lim⁡n→∞sin⁡(1/n)1/n=lim⁡u→0sin⁡uu=1.\lim_{n\to\infty}\frac{\sin(1/n)}{1/n} =\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1.

故此級數與調和級數 ∑1/n\sum 1/n 有相同的收斂性，而調和級數發散。因此

(a) 收斂；(b) 發散.\boxed{\text{(a) 收斂；(b) 發散}}.