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108 台聯大微積分(A3/A4/A7) 第 6 題

考題 / 轉學考微積分 / 台聯大 / 微積分A3/A4/A7

108學年度 · 108微積分A3/A4/A7 · 第 6 題

題目

Problem

甲、填充題：共 8 題，每題 8 分，共 64 分。請在答案卷上列出題號依序作答。

  1. Find the maximum value of f(x,y)=x2+2y2−2x+3f(x,y)=x^2+2y^2-2x+3 subject to the constraint x2+y2=10x^2+y^2=10. Answer : \underline{\quad(1)\quad}

解答

解法一

思路

  • 約束式直接給出 y2=10−x2y^2=10-x^2，可把二變數目標函數化成一個 xx 的二次式。
  • 再配方即可同時讀出最大值與達成位置。

答題過程

由 x2+y2=10x^2+y^2=10 得 y2=10−x2y^2=10-x^2，所以

f=23−x2−2x=24−(x+1)2≤24.f=23-x^2-2x=24-(x+1)^2\leq24.

等號須 x=−1x=-1，此時 y2=9y^2=9，即 y=±3y=\pm3，均符合約束。因此最大值為 24\boxed{24}。