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108 台聯大微積分(A3/A4/A7) 第 11 題

考題 / 轉學考微積分 / 台聯大 / 微積分A3/A4/A7

108學年度 · 108微積分A3/A4/A7 · 第 11 題

題目

Problem

乙、計算、證明題：共 3 題，每題 12 分，共 36 分。須詳細寫出計算及證明過程，否則不予計分。

  1. Find the area of the surface cut from the paraboloid x2+y+z2=2x^2+y+z^2=2 by the plane y=0y=0.

解答

解法一

思路

  • 將曲面改寫為圖形 y=2−x2−z2y=2-x^2-z^2，以 xzxz 平面作投影。
  • 截平面 y=0y=0 與曲面的交線是圓 x2+z2=2x^2+z^2=2，所以投影區域是一個圓盤。
  • 曲面面積用 ∬D1+yx2+yz2 dA\iint_D\sqrt{1+y_x^2+y_z^2}\,\mathrm{d}A；被積式只依半徑，最後換成極坐標。

答題過程

曲面可寫成

y=2−x2−z2.y=2-x^2-z^2.

平面 y=0y=0 與它的交線滿足 x2+z2=2x^2+z^2=2，故投影區域為

D={(x,z):x2+z2≤2}.D=\{(x,z):x^2+z^2\leq2\}.

又

yx=−2x,yz=−2z,y_x=-2x,\qquad y_z=-2z,

所以曲面積為

A= ∬D1+yx2+yz2 dx dz= ∫02π∫02r1+4r2 dr dθ= 2π(1+4r2)3/212∣02= π6(27−1)=13π3.\begin{align*} A =&\,\iint_D\sqrt{1+y_x^2+y_z^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}z\\[4mm] =&\,\int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt2}r\sqrt{1+4r^2}\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\\[4mm] =&\,2\pi\left.\frac{(1+4r^2)^{3/2}}{12}\right|_0^{\sqrt2}\\[4mm] =&\,\frac{\pi}{6}\bigl(27-1\bigr)=\boxed{\frac{13\pi}{3}}. \end{align*}