CalcGospel 微積分福音
返回

108 台聯大微積分(A3/A4/A7) 第 10 題

考題 / 轉學考微積分 / 台聯大 / 微積分A3/A4/A7

108學年度 · 108微積分A3/A4/A7 · 第 10 題

題目

Problem

乙、計算、證明題：共 3 題，每題 12 分，共 36 分。須詳細寫出計算及證明過程，否則不予計分。

  1. Use the limit definition to show that g′(0)g'(0) exists but g′(0)≠lim⁡g′(x)g'(0)\neq \lim g'(x), where
g(x)={x2sin⁡(1/x),if x≠0,0,if x=0.g(x)= \begin{cases} x^2\sin(1/x), & \text{if }x\ne 0,\\ 0, & \text{if }x=0. \end{cases}

解答

解法一

思路

  • 題目要求從定義驗證 g′(0)g'(0)，所以不可直接套用 x≠0x\ne0 時的導函數。
  • 再對 x≠0x\ne0 微分，並用兩列趨近 00 的數列證明導函數沒有極限。

答題過程

由導數定義，

g′(0)= lim⁡h→0g(h)−g(0)h= lim⁡h→0hsin⁡(1/h)=0,\begin{align*} g'(0) =&\,\lim_{h\to0}\frac{g(h)-g(0)}{h}\\[4mm] =&\,\lim_{h\to0}h\sin(1/h)=0, \end{align*}

其中最後一步由 ∣hsin⁡(1/h)∣≤∣h∣|h\sin(1/h)|\leq|h| 的夾擠定理得到。

另一方面，當 x≠0x\ne0 時

g′(x)=2xsin⁡(1/x)−cos⁡(1/x).g'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x).

令 xn=1/(2πn)x_n=1/(2\pi n)，則 g′(xn)=−1g'(x_n)=-1；令 yn=1/((2n+1)π)y_n=1/((2n+1)\pi)，則 g′(yn)=1g'(y_n)=1。兩列都趨近 00，極限卻不同，故 lim⁡x→0g′(x)\lim_{x\to0}g'(x) 不存在。

因此 g′(0)=0，但 g′(0)≠lim⁡x→0g′(x)\boxed{g'(0)=0\text{，但 }g'(0)\ne\lim_{x\to0}g'(x)}。