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108 台聯大微積分(A3/A4/A7) 第 1 題

考題 / 轉學考微積分 / 台聯大 / 微積分A3/A4/A7

108學年度 · 108微積分A3/A4/A7 · 第 1 題

題目

Problem

甲、填充題：共 8 題，每題 8 分，共 64 分。請在答案卷上列出題號依序作答。

  1. Evaluate lim⁡x→0+(sin⁡x)x\displaystyle\lim_{x\to0^+}(\sin x)^x. Answer : \underline{\quad(1)\quad}

解答

解法一

思路

  • 底數與指數同時趨近零時，先取自然對數，將冪次轉成乘積。
  • 只要證明 xln⁡(sin⁡x)→0x\ln(\sin x)\to0，原極限就是 e0e^0。

答題過程

令 L=(sin⁡x)xL=(\sin x)^x。因為 x→0+x\to0^+ 時 sin⁡x>0\sin x>0，可以取對數：

ln⁡L=xln⁡(sin⁡x)=xln⁡x+xln⁡(sin⁡xx).\ln L=x\ln(\sin x)=x\ln x+x\ln\left(\frac{\sin x}{x}\right).

其中 xln⁡x→0x\ln x\to0，且 sin⁡x/x→1\sin x/x\to1，所以第二項也趨近 00。因此 ln⁡L→0\ln L\to0，

lim⁡x→0+(sin⁡x)x=e0=1.\boxed{\lim_{x\to0^+}(\sin x)^x=e^0=1}.