題目

Problem

乙、計算、證明題：共 3 題，每題 12 分，共 36 分。須詳細寫出計算及證明過程，否則不予計分。

An open rectangular box is to be constructed from material that costs 3 dollars per ft $^2$ for the bottom and 1 dollar per ft $^2$ for its sides. Find the dimensions of the box of greatest volume that can be constructed for 36 dollars.

解答

最適底面為正方形，設邊長 $s$ 、高 $h$ 。成本條件 $3s^2+4sh=36$ ，故

$V=s^2h=\frac{36s-3s^3}{4}.$

令導數為零得 $s=2$ ，再得 $h=3$ 。答案為

$\boxed{2\text{ ft}\times2\text{ ft}\times3\text{ ft}}.$