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108 台聯大微積分(A2) 第 10 題

考題 / 轉學考微積分 / 台聯大 / 微積分A2

108學年度 · 108微積分A2 · 第 10 題

題目

Problem

乙、計算、證明題：共 3 題，每題 12 分，共 36 分。須詳細寫出計算及證明過程，否則不予計分。

  1. Use the limit definition to show that g′(0)g'(0) exists but g′(0)≠lim⁡x→0g′(x)g'(0)\neq \lim_{x\to 0} g'(x), where
g(x)={x2sin⁡(1/x),if x≠0,0,if x=0.g(x)= \begin{cases} x^2\sin(1/x), & \text{if }x\ne 0,\\ 0, & \text{if }x=0. \end{cases}

解答

解法一

由定義

g′(0)=lim⁡h→0h2sin⁡(1/h)h=0.g'(0)=\lim_{h\to0}\frac{h^2\sin(1/h)}h=0.

但 x≠0x\ne0 時 g′(x)=2xsin⁡(1/x)−cos⁡(1/x)g'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)，其在 x→0x\to0 時無極限。因此 g′(0)≠lim⁡x→0g′(x)\boxed{g'(0)\ne\lim_{x\to0}g'(x)}。