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107 台聯大微積分(A2) 第 7 題

考題 / 轉學考微積分 / 台聯大 / 微積分A2

107學年度 · 107微積分A2 · 第 7 題

題目

Problem

甲、填充題:共 8 題,每題 8 分,共 64 分。請在答案卷上列出題號依序作答。

  1. Consider a differential equation dydt=kv(10−y)\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{k}{v}(10-y), y(0)=y0y(0)=y_0, where kk, vv and y0y_0 are positive constants with y<10y<10. Find lim⁡t→∞y\lim_{t\to\infty} y. Answer : \underline{\quad(1)\quad}

解答

思路

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  • 右側的 10−y10-y 顯示 y=10y=10 是平衡解;也可解出通解後直接取極限。

答題過程

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分離變數並積分:

dy10−y=kv dt⟹y=10−Cexp⁡(−kvt).\frac{\mathrm{d}y}{10-y}=\frac{k}{v}\,\mathrm{d}t \quad\Longrightarrow\quad y=10-C\exp\left(-\frac{k}{v}t\right).

由 y(0)=y0y(0)=y_0 得 C=10−y0>0C=10-y_0>0。由於 k,v>0k,v>0,

lim⁡t→∞Cexp⁡(−kvt)=0.\lim_{t\to\infty}C\exp\left(-\frac{k}{v}t\right)=0.

所以

lim⁡t→∞y=10.\boxed{\lim_{t\to\infty}y=10}.