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107 台聯大微積分(A2) 第 4 題

考題 / 轉學考微積分 / 台聯大 / 微積分A2

107學年度 · 107微積分A2 · 第 4 題

題目

Problem

甲、填充題：共 8 題，每題 8 分，共 64 分。請在答案卷上列出題號依序作答。

  1. Find the interval of convergence of the power series ∑n=0∞2n(x−3)n(n+1)!\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2n(x-3)^n}{(n+1)!}. Answer : \underline{\quad(1)\quad}

解答

思路

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  • 階乘在分母會使相鄰項的比值趨於零，因此對每個實數 xx 都收斂。

答題過程

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令

un=2n(x−3)n(n+1)!.u_n=\frac{2n(x-3)^n}{(n+1)!}.

對固定的 xx，比值審斂法給出

∣un+1un∣=n+1n(n+2)∣x−3∣⟶0.\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right| =\frac{n+1}{n(n+2)}|x-3|\longrightarrow0.

這小於 11，不論 xx 為何皆收斂。因此收斂區間為

(−∞,∞).\boxed{(-\infty,\infty)}.