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107 台聯大微積分(A2) 第 2 題

考題 / 轉學考微積分 / 台聯大 / 微積分A2

107學年度 · 107微積分A2 · 第 2 題

題目

Problem

甲、填充題：共 8 題，每題 8 分，共 64 分。請在答案卷上列出題號依序作答。

  1. Evaluate ∫0π/21−sin⁡x dx\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sqrt{1-\sin x}\,dx. Answer : \underline{\quad(1)\quad}

解答

思路

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  • 先把根號內的 1−sin⁡x1-\sin x 配成平方；在積分區間內判斷其平方根的正負。

答題過程

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利用半角公式，

1−sin⁡x=(cos⁡x2−sin⁡x2)2.1-\sin x =\left(\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}\right)^2.

當 0≤x≤π20\le x\le\frac\pi2 時，cos⁡x2≥sin⁡x2\cos\frac{x}{2}\ge\sin\frac{x}{2}，故

∫0π/21−sin⁡x dx= ∫0π/2(cos⁡x2−sin⁡x2) dx= 2[sin⁡x2+cos⁡x2]0π/2= 2(2−1).\begin{align*} \int_0^{\pi/2}\sqrt{1-\sin x}\,\mathrm{d}x =&\,\int_0^{\pi/2}\left(\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}\right)\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,2\left[\sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right]_0^{\pi/2}\\[4mm] =&\,2(\sqrt2-1). \end{align*}

故答案為 2(2−1)\boxed{2(\sqrt2-1)}。