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107 台聯大微積分(A2) 第 11 題

考題 / 轉學考微積分 / 台聯大 / 微積分A2

107學年度 · 107微積分A2 · 第 11 題

題目

Problem

乙、計算、證明題：共 3 大題，每大題 12 分，共 36 分。須詳細寫出計算及證明過程，否則不予計分。

  1. Consider the function
f(x,y)={ke−(x+y)/a,if x≥0, y≥0,0,elsewhere.f(x,y)= \begin{cases} ke^{-(x+y)/a}, & \text{if }x\ge 0,\ y\ge 0,\\ 0, & \text{elsewhere.} \end{cases}

Find the relationship between the positive constants aa and kk such that ff is a joint probability density function of the continuous random variables xx and yy.

解答

思路

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  • 聯合機率密度函數在整個平面上的積分須為 11；函數只在第一象限不為零，可分離為兩個指數積分。

答題過程

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必須有

1= ∫0∞∫0∞ke−(x+y)/a dy dx= k(∫0∞e−x/a dx)2= ka2.\begin{align*} 1 =&\,\int_0^\infty\int_0^\infty ke^{-(x+y)/a}\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,k\left(\int_0^\infty e^{-x/a}\,\mathrm{d}x\right)^2\\[4mm] =&\,ka^2. \end{align*}

因此正的常數須滿足

k=1a2.\boxed{k=\frac1{a^2}}.