題目 Problem 乙、計算、證明題：共 3 題，每題 12 分，共 36 分。須詳細寫出計算及證明過程，否則不予計分。 Find any extrema of the function f(x,y)=e−xy/4f(x,y)=e^{-xy/4}f(x,y)=e−xy/4 subject to the constraint x2+y2≤1x^2+y^2\le 1x2+y2≤1. 解答 解法一 在單位圓盤中 −1/2≤xy≤1/2-1/2\leq xy\leq1/2−1/2≤xy≤1/2，而 e−xy/4e^{-xy/4}e−xy/4 隨 xyxyxy 遞減。因此 maxf=e1/8於 (±12,∓12),\boxed{\max f=e^{1/8}}\quad\text{於 }\left(\pm\frac1{\sqrt2},\mp\frac1{\sqrt2}\right),maxf=e1/8於 (±21,∓21), minf=e−1/8於 (±12,±12)（同號）.\boxed{\min f=e^{-1/8}}\quad\text{於 }\left(\pm\frac1{\sqrt2},\pm\frac1{\sqrt2}\right)\text{（同號）}.minf=e−1/8於 (±21,±21)（同號）.
