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106 台聯大微積分(A3/A4/A7) 第 7 題

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106學年度 · 106微積分A3/A4/A7 · 第 7 題

題目

Problem

甲、填充題：共 8 題，每題 8 分，共 64 分。請在答案卷上列出題號依序作答。

  1. Let RR be the solid inside x2+y2+z2=1x^2+y^2+z^2=1, outside z=x2+y2z=\sqrt{x^2+y^2} and above the xyxy-plane. Find the volume of RR. Answer : \underline{\quad(1)\quad}

解答

解法一

球坐標中 0≤ρ≤10\leq\rho\leq1、0≤θ≤π/40\leq\theta\leq\pi/4、0≤ϕ≤2π0\leq\phi\leq2\pi，故

V=∫02π∫0π/4∫01ρ2sin⁡θ dρ dθ dϕ=2π3(1−22).V=\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/4}\int_0^1\rho^2\sin\theta\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi =\boxed{\frac{2\pi}{3}\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right)}.