題目

Problem

乙、計算、證明題：共 3 題，每題 12 分，共 36 分。須詳細寫出計算及證明過程，否則不予計分。

Find any extrema of the function $f(x,y)=e^{-xy/4}$ subject to the constraint $x^2+y^2\le 1$ .

解答

在單位圓盤內， $-\frac12\leq xy\leq\frac12$ 。函數 $e^{-xy/4}$ 隨 $xy$ 遞減，故

\boxed{\max f=e^{1/8}\text{，於 }\left(\frac1{\sqrt2},-\frac1{\sqrt2}\right),\left(-\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2}\right)};

\boxed{\min f=e^{-1/8}\text{，於 }\left(\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2}\right),\left(-\frac1{\sqrt2},-\frac1{\sqrt2}\right)}.