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106 台聯大微積分(A2) 第 6 題

考題 / 轉學考微積分 / 台聯大 / 微積分A2

106學年度 · 106微積分A2 · 第 6 題

題目

Problem

甲、填充題:共 8 題,每題 8 分,共 64 分。請在答案卷上列出題號依序作答。

  1. Find the volume of solid bounded above by z=f(x,y)=e−x2z=f(x,y)=e^{-x^2} and below by the plane region RR which is bounded by y=xy=x, x=1x=1 and y=0y=0. Answer : \underline{\quad(1)\quad}

解答

解法一

區域可寫為 0≤x≤10\leq x\leq1、0≤y≤x0\leq y\leq x,故體積

∫01∫0xe−x2 dy dx=∫01xe−x2 dx=1−e−12.\int_0^1\int_0^x e^{-x^2}\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x =\int_0^1xe^{-x^2}\,\mathrm{d}x =\boxed{\frac{1-e^{-1}}2}.