題目

Problem

9. (10 points): Evaluate

\int_0^\infty\left(x-\frac{x^3}{2}+\frac{x^5}{2\cdot 4}-\frac{x^7}{2\cdot 4\cdot 6}+\cdots\right) \left(1+\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2\cdot 4^2}+\frac{x^6}{2^2\cdot 4^2\cdot 6^2}+\cdots\right)dx.

解答

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第一個級數是 $xe^{-x^2/4}$ ；第二個級數是修正 Bessel 函數 $I_0(x)$ 。利用其角度積分表示，可把所求式化為二維高斯積分。

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先辨認兩個級數：

x-\frac{x^3}{2}+\frac{x^5}{2\cdot4}-\cdots =&\,xe^{-x^2/4},

1+\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2\cdot4^2}+\cdots =&\,I_0(x).

其中 $I_0$ 滿足

I_0(r)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{r\cos\theta}\,\mathrm{d}\theta.

因此，將二維高斯積分改用極坐標計算，

\begin{align*} 2\pi\int_0^\infty r e^{-r^2/4}I_0(r)\,\mathrm{d}r =&\,\iint_{\mathbb R^2}e^{-(u^2+v^2)/4+u}\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v\\[4mm] =&\,e\iint_{\mathbb R^2}e^{-((u-2)^2+v^2)/4}\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v\\[4mm] =&\,4\pi e. \end{align*}

故原瑕積分為

\boxed{2e}.