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105 台聯大微積分(A3/A4/A6) 第 8 題

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105學年度 · 105微積分A3/A4/A6 · 第 8 題

題目

Problem

8. (10 points): For each continuous function f:[0,1]→Rf:[0,1]\to\mathbb{R}, let I(f)=∫01xf(x)(x−f(x)) dxI(f)=\int_0^1 xf(x)(x-f(x))\,dx. Find the maximum value of I(f)I(f) over all such functions ff.

解答

解法一

思路

展開

對每個固定 xx，f(x)(x−f(x))f(x)(x-f(x)) 是以 f(x)f(x) 為變數的下開口二次式。完成平方即可得到逐點上界，並找到達成上界的連續函數。

答題過程

展開 f(x)(x−f(x))=x24−(f(x)−x2)2≤x24.f(x)(x-f(x))=\frac{x^2}{4}-\left(f(x)-\frac x2\right)^2\leq\frac{x^2}{4}.

由於 x≥0x\geq0，

I(f)≤∫01x34 dx=116.I(f)\leq\int_0^1\frac{x^3}{4}\,\mathrm{d}x=\frac1{16}.

取連續函數 f(x)=x/2f(x)=x/2 時，每個 xx 都取等號。因此最大值為

116.\boxed{\frac1{16}}.