題目

Problem

5. (10 points): Let $B=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x^2+y^2+z^2\le 1\}$ . Evaluate the integral

\iiint_B \frac{x^4+2y^4}{x^4+4y^4+z^4}\,dV.

解答

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利用單位球對 $x,z$ 的對稱性。把分母三項積分相加得到球體體積，便能由線性組合直接找出題目分子的積分。

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設

A=\iiint_B\frac{x^4}{x^4+4y^4+z^4}\,\mathrm{d}V, \qquad B=\iiint_B\frac{y^4}{x^4+4y^4+z^4}\,\mathrm{d}V.

由 $x,z$ 對稱， $z^4$ 對應的積分也是 $A$ 。將三個分母項相加，

2A+4B=\iiint_B1\,\mathrm{d}V=\frac{4\pi}{3}.

題目所求正是 $A+2B$ ，因此

\boxed{A+2B=\frac{2\pi}{3}}.