題目

Problem

2. (10 points): Find the maximum and minimum values of the function $f(x,y,z)=x^2-y^2$ on the surface $x^2+2y^2+3z^2=1$ .

解答

展開

約束曲面固定了 $x^2+2y^2+3z^2$ 。把 $f=x^2-y^2$ 改寫成約束式與非負平方項的組合，可同時取得上下界與等號情形。

展開

由 $x^2+2y^2+3z^2=1$ ，

f=x^2-y^2=1-3y^2-3z^2\leq1.

等號在 $y=z=0$ 時成立，即 $(x,y,z)=(\pm1,0,0)$ 。

另一方面，

f=x^2-y^2=-\frac12+\frac12x^2+\frac32z^2\geq-\frac12.

等號在 $x=z=0$ 時成立，即 $(x,y,z)=\left(0,\pm\frac1{\sqrt2},0\right)$ 。故

\boxed{\max f=1,\qquad\min f=-\frac12}.