題目

Problem

甲、填充題：共 8 題，每題 8 分，共 64 分。請將答案依題號順序寫在答案卷上，不必寫演算過程。

Find the limit: $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{j=1}^n\frac{\sqrt{n^2-j^2}}{n^2}$ . Answer : \underline{\quad(1)\quad}

解答

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將每一項寫成 $\frac1n$ 乘上 $j/n$ 的函數，便可辨認為 $[0,1]$ 上的黎曼和，極限即為四分之一圓面積。

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\frac{\sqrt{n^2-j^2}}{n^2} =&\,\frac1n\sqrt{1-\left(\frac jn\right)^2}.

因此

\begin{align*} \lim_{n\to\infty}\sum_{j=1}^n\frac{\sqrt{n^2-j^2}}{n^2} =&\,\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\boxed{\frac\pi4}. \end{align*}