微積分福音

105 台聯大微積分(A2 951) 第 5 題

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105學年度 · 105微積分A2 951 · 第 5 題

題目

Problem

甲、填充題：共 8 題，每題 8 分，共 64 分。請將答案依題號順序寫在答案卷上，不必寫演算過程。

Evaluate the integral $\displaystyle\int_2^6 x\sqrt{2x-3}\,dx$ . Answer : \underline{\quad(1)\quad}

解答

解法一

思路

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根號內是線性式，令 $u=2x-3$ 可將根式化為冪次積分，並同步調整上下限。

答題過程

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令 $u=2x-3$ ，則 $x=(u+3)/2$ 、 $\mathrm{d}x=\mathrm{d}u/2$ ；當 $x=2,6$ 時， $u=1,9$ 。故

\begin{align*} \int_2^6x\sqrt{2x-3}\,\mathrm{d}x =&\,\frac14\int_1^9(u+3)u^{1/2}\,\mathrm{d}u\\[4mm] =&\,\frac14\left[\frac25u^{5/2}+2u^{3/2}\right]_1^9\\[4mm] =&\,\boxed{\frac{186}{5}}. \end{align*}