題目
Problem
甲、填充題:共 8 題,每題 8 分,共 64 分。請將答案依題號順序寫在答案卷上,不必寫演算過程。
Suppose that the first derivative of y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) is y ′ = 6 x ( x + 1 ) ( x − 2 ) y'=6x(x+1)(x-2) y ′ = 6 x ( x + 1 ) ( x − 2 ) . At what points does the graph of f f f have a point of inflection? Answer : \underline{\quad(1)\quad}
解答
解法一
思路
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反曲點須使凹凸性改變。已知 f ′ f' f ′ ,故求 f ′ ′ f'' f ′′ 的零點並檢查其左右正負號。
答題過程
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f ′ ( x ) = 6 x ( x + 1 ) ( x − 2 ) = 6 x 3 − 6 x 2 − 12 x , f'(x)=6x(x+1)(x-2)=6x^3-6x^2-12x, f ′ ( x ) = 6 x ( x + 1 ) ( x − 2 ) = 6 x 3 − 6 x 2 − 12 x ,
故
f ′ ′ ( x ) = 6 ( 3 x 2 − 2 x − 2 ) . f''(x)=6(3x^2-2x-2). f ′′ ( x ) = 6 ( 3 x 2 − 2 x − 2 ) .
解 3 x 2 − 2 x − 2 = 0 3x^2-2x-2=0 3 x 2 − 2 x − 2 = 0 得
x = 1 ± 7 3 . x=\frac{1\pm\sqrt7}{3}. x = 3 1 ± 7 .
此開口向上的二次式在兩根外為正、兩根間為負,兩點都發生凹凸改變。因此反曲點的 x x x 座標為
1 − 7 3 , 1 + 7 3 . \boxed{\frac{1-\sqrt7}{3},\quad\frac{1+\sqrt7}{3}}. 3 1 − 7 , 3 1 + 7 .