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105 台聯大微積分(A2 951) 第 4 題

考題 / 轉學考微積分 / 台聯大 / 微積分A2 951

105學年度 · 105微積分A2 951 · 第 4 題

題目

Problem

甲、填充題:共 8 題,每題 8 分,共 64 分。請將答案依題號順序寫在答案卷上,不必寫演算過程。

  1. Suppose that the first derivative of y=f(x)y=f(x) is y′=6x(x+1)(x−2)y'=6x(x+1)(x-2). At what points does the graph of ff have a point of inflection? Answer : \underline{\quad(1)\quad}

解答

解法一

思路

展開

反曲點須使凹凸性改變。已知 f′f',故求 f′′f'' 的零點並檢查其左右正負號。

答題過程

展開 f′(x)=6x(x+1)(x−2)=6x3−6x2−12x,f'(x)=6x(x+1)(x-2)=6x^3-6x^2-12x,

故

f′′(x)=6(3x2−2x−2).f''(x)=6(3x^2-2x-2).

解 3x2−2x−2=03x^2-2x-2=0 得

x=1±73.x=\frac{1\pm\sqrt7}{3}.

此開口向上的二次式在兩根外為正、兩根間為負,兩點都發生凹凸改變。因此反曲點的 xx 座標為

1−73,1+73.\boxed{\frac{1-\sqrt7}{3},\quad\frac{1+\sqrt7}{3}}.