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105 台聯大微積分(A2 951) 第 3 題

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105學年度 · 105微積分A2 951 · 第 3 題

題目

Problem

甲、計算、證明題：共 3 題，每題 12 分，共 36 分。須詳細寫出計算及證明過程，否則不予計分。

  1. Find the points on the sphere x2+y2+z2=4x^2+y^2+z^2=4 that are closest to and farthest from the point (3,1,−1)(3,1,-1).

解答

解法一

思路

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球面上距給定點最近與最遠的點，必在球心到該點的直線上；將方向向量單位化後乘上球半徑即可。

答題過程

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設 p=(3,1,−1)\mathbf p=(3,1,-1)，則 ∣p∣=11|\mathbf p|=\sqrt{11}。球心是原點、半徑為 22，故同向與反向的球面點分別為

211(3,1,−1),−211(3,1,−1).\frac{2}{\sqrt{11}}(3,1,-1),\qquad-\frac{2}{\sqrt{11}}(3,1,-1).

因此最近點與最遠點依序是

(611,211,−211),(−611,−211,211).\boxed{\left(\frac6{\sqrt{11}},\frac2{\sqrt{11}},-\frac2{\sqrt{11}}\right)}, \qquad \boxed{\left(-\frac6{\sqrt{11}},-\frac2{\sqrt{11}},\frac2{\sqrt{11}}\right)}.