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105 台聯大微積分(A2 951) 第 11 題

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105學年度 · 105微積分A2 951 · 第 11 題

題目

Problem

甲、填充題：共 8 題，每題 8 分，共 64 分。請將答案依題號順序寫在答案卷上，不必寫演算過程。

  1. Find the absolute maximum value of the function f(x,y)=x2−2xy+2yf(x,y)=x^2-2xy+2y on the rectangle D={(x,y)∣0≤x≤3, 0≤y≤2}D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 3,\ 0\le y\le 2\}. Answer : \underline{\quad(1)\quad}

解答

解法一

思路

展開

在閉矩形上找絕對極值，要同時檢查內部臨界點及四條邊界。

答題過程

展開 fx=2x−2y,fy=−2x+2.f_x=2x-2y,\qquad f_y=-2x+2.

內部臨界點為 (1,1)(1,1)，此時 f(1,1)=1f(1,1)=1。邊界上：

邊界fy=0x2y=2(x−2)2x=02yx=39−4y\begin{array}{c|c} \text{邊界}&f\\ \hline y=0&x^2\\ y=2&(x-2)^2\\ x=0&2y\\ x=3&9-4y \end{array}

在各邊界區間比較端點與可能臨界值後，最大值為 99（例如 (3,0)(3,0)）。故答案是

9.\boxed{9}.