微積分福音

104 台聯大微積分(A3/A4/A5/A7) 第 9 題

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104學年度 · 104微積分A3/A4/A5/A7 · 第 9 題

題目

Problem

乙、計算、證明題：共 3 題，每題 12 分，共 36 分。須詳細寫出計算及證明過程，否則不予計分。

Sketch the region of integration, reverse the order of integration, and evaluate the integral $\displaystyle\int_0^3\int_{\sqrt{x/3}}^1 e^{y^3}\,dy\,dx$ .

解答

解法一

思路

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先把下界 $y=\sqrt{x/3}$ 改寫成 $x=3y^2$ 。這樣先對 $x$ 積分，便能以 $y^3$ 作簡單代換完成積分。

答題過程

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原區域滿足

0\leq x\leq3,\qquad \sqrt{\frac{x}{3}}\leq y\leq1.

等價地， $0\leq y\leq1$ 且 $0\leq x\leq3y^2$ 。因此交換積分次序後，

\begin{align*} \int_0^3\int_{\sqrt{x/3}}^1e^{y^3}\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x =&\,\int_0^1\int_0^{3y^2}e^{y^3}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\\[4mm] =&\,\int_0^1 3y^2e^{y^3}\,\mathrm{d}y\\[4mm] =&\,[e^{y^3}]_0^1\\[4mm] =&\,\boxed{e-1}. \end{align*}