題目

Problem

6. Find the maximum rate of change of $f(x,y)=x^2y+e^{xy}\sin y$ at $(1,0)$ . Answer : \underline{\quad(1)\quad}

解答

展開

函數在給定點可微時，最大方向導數就是梯度的長度；先求兩個偏導數，再代入 $(1,0)$ 。

展開

\begin{align*} f_x=&\,2xy+ye^{xy}\sin y,\\[4mm] f_y=&\,x^2+e^{xy}(x\sin y+\cos y). \end{align*}

所以

\nabla f(1,0)=&\,(0,2).

最大變化率為梯度長度，故答案是

\big|\nabla f(1,0)\big|=&\,\boxed{2}.