104 台聯大微積分(A3/A4/A5/A7) 第 5 題

題目

Problem

5. Find the limit: $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x\ln x}\int_1^x \ln t\,dt$ . Answer : \underline{\quad(1)\quad}

展開

先算出分子中的定積分，再把分子、分母同除以主導項 $x\ln x$ ，即可判讀極限。

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\int_1^x\ln t\,\mathrm{d}t =&\,[t\ln t-t]_1^x =&\,x\ln x-x+1.

因此

\frac{x\ln x-x+1}{x\ln x} =&\,1-\frac1{\ln x}+\frac1{x\ln x}\longrightarrow\boxed{1}.