題目

Problem

甲、填充題：共 8 題，每題 8 分，共 64 分。請將答案依題號順序寫在答案卷上。

Evaluate $\displaystyle\int_0^1 \frac{xe^{2x}}{(2x+1)^2}\,dx$ . Answer : \underline{\quad(1)\quad}

解答

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分母 $(2x+1)^2$ 提示可嘗試湊成某個商的導數。檢查 $\frac{e^{2x}}{2x+1}$ 的導數，恰能得到題目的被積分式。

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直接微分可得

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{e^{2x}}{2x+1}\right) =&\,\frac{4xe^{2x}}{(2x+1)^2}.

故

\begin{align*} \int_0^1\frac{xe^{2x}}{(2x+1)^2}\,\mathrm{d}x =&\,\frac14\left[\frac{e^{2x}}{2x+1}\right]_0^1\\[4mm] =&\,\boxed{\frac14\left(\frac{e^2}{3}-1\right)}. \end{align*}