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104 台聯大微積分(A3/A4/A5/A7) 第 10 題

考題 / 轉學考微積分 / 台聯大 / 微積分A3/A4/A5/A7

104學年度 · 104微積分A3/A4/A5/A7 · 第 10 題

題目

Problem

2. Find the counterclockwise circulation for the field F=(x+exsin⁡y)i+(x+excos⁡y)j\mathbf{F}=(x+e^x\sin y)\mathbf{i}+(x+e^x\cos y)\mathbf{j} along the curve CC: the right-hand loop of the lemniscate r2=cos⁡2θr^2=\cos 2\theta.

解答

解法一

思路

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曲線為逆時針的封閉曲線，適合用 Green 定理把環流改寫為右葉所圍的面積；再以極坐標公式計算該面積。

答題過程

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令

P=x+exsin⁡y,Q=x+excos⁡y.P=x+e^x\sin y,\qquad Q=x+e^x\cos y.

Green 定理給出

\oint_C P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y =&\,\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,\mathrm{d}A.

而

\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =&\,(1+e^x\cos y)-e^x\cos y=1.

右葉對應 −π4≤θ≤π4-\frac\pi4\leq\theta\leq\frac\pi4，故

∮CF⋅dr= ∬D1 dA= 12∫−π/4π/4cos⁡(2θ) dθ= 12.\begin{align*} \oint_C\mathbf F\cdot\mathrm{d}\mathbf r =&\,\iint_D1\,\mathrm{d}A\\[4mm] =&\,\frac12\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\cos(2\theta)\,\mathrm{d}\theta\\[4mm] =&\,\boxed{\frac12}. \end{align*}