題目

Problem

乙、計算、證明題：共 3 題，每題 12 分，共 36 分。須詳細寫出計算及證明過程，否則不予計分。

Test the series $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{e^{2/n}}{n^2}$ for convergence or divergence.

題目勘誤

官方原題：級數從 $n=0$ 起，首項為 $e^{2/0}/0^2$ 。

實際上應為：首項同時含除以零與未定義的指數，故原級數沒有定義；不能唯一推定起始項是否應改為 $1$ 。

本頁保留官方原題，未替換原題條件。

解答

原級數在 $n=0$ 的項沒有定義，故在原題所列形式下 $\boxed{\text{無法判定收斂性}}$ 。

若另行將起始項明定為 $n=1$ ，則 $e^{2/n}\le e^2$ ，可與 $e^2/n^2$ 比較而收斂；但這不是官方原題給定的級數。