題目

Problem

乙、計算、證明題：共 3 題，每題 12 分，共 36 分。須詳細寫出計算及證明過程，否則不予計分。

Evaluate $\displaystyle\iint_R xe^{y^2}\,dA$ where $R$ is the plane region bounded by the $y$ -axis, $x=0$ , the horizontal line $y=4$ , and the graph of $y=x^2$ .

解答

改以 $y$ 為外層，區域為 $0\le y\le4,0\le x\le\sqrt y$ 。因此

\begin{align*} \iint_Rxe^{y^2}\,\mathrm{d}A =&\,\int_0^4\int_0^{\sqrt y}xe^{y^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\\[4mm] =&\,\frac12\int_0^4ye^{y^2}\,\mathrm{d}y =\boxed{\frac{e^{16}-1}{4}}. \end{align*}