微積分福音

103 台聯大微積分(A3/A4/A5/A7) 第 9 題

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103學年度 · 103微積分A3/A4/A5/A7 · 第 9 題

題目

Problem

乙、計算、證明題：共 3 題，每題 12 分，共 36 分。須詳細寫出計算及證明過程，否則不予計分。

Suppose that $x$ and $y$ are related by the equation $x=\displaystyle\int_0^y \frac{1}{\sqrt{1+4t^2}}\,dt$ . Show that $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ is proportional to $y$ and find the constant of proportionality.

解答

思路

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先由微積分基本定理求 $y'$ ，再對其微分；根號會恰好消去，留下與 $y$ 成正比的結果。

答題過程

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\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\sqrt{1+4y^2}.

再對 $x$ 微分：

\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} =\frac{4y}{\sqrt{1+4y^2}}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=4y.

所以比例常數為 $\boxed{4}$ 。