103 台聯大微積分(A3/A4/A5/A7) 第 7 題

題目

Problem

7. Find the volume under the surface $f(x,y)=e^{-x^2}$ , bounded by the $xz$ -plane and the planes $y=x$ and $x=1$ . Answer : \underline{\quad(1)\quad}

解答

思路

展開

$xz$ 平面是 $y=0$ ，配合 $y=x,x=1$ 得 $0\le x\le1,0\le y\le x$ 。

答題過程

展開

\begin{align*} V =&\,\int_0^1\int_0^x e^{-x^2}\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\int_0^1xe^{-x^2}\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\frac{1-e^{-1}}2. \end{align*}

故 $\boxed{V=\frac{1-e^{-1}}2}$ 。