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103 台聯大微積分(A3/A4/A5/A7) 第 4 題

考題 / 轉學考微積分 / 台聯大 / 微積分A3/A4/A5/A7

103學年度 · 103微積分A3/A4/A5/A7 · 第 4 題

題目

Problem

4. The function f(x)=ex+xf(x)=e^x+x, being differentiable and one-to-one, has a differentiable inverse f−1(x)f^{-1}(x). Find the value of df−1dx\dfrac{d f^{-1}}{dx} at the point f(ln⁡2)f(\ln 2). Answer : \underline{\quad(1)\quad}

解答

思路

展開
  • 反函數導數在 f(a)f(a) 處等於 1/f′(a)1/f'(a);此處 a=ln⁡2a=\ln2。

答題過程

展開 f′(x)=ex+1,f′(ln⁡2)=3.f'(x)=e^x+1,\qquad f'(\ln2)=3.

所以

df−1dx∣f(ln⁡2)=13.\boxed{\left.\frac{\mathrm{d}f^{-1}}{\mathrm{d}x}\right|_{f(\ln2)}=\frac13}.