微積分福音

103 台聯大微積分(A2) 第 7 題

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103學年度 · 103微積分A2 · 第 7 題

題目

Problem

甲、填充題：共 10 題，每題 8 分，共 80 分。請將答案依題號順序寫在答案卷上，不必寫演算過程。

Suppose that $x$ and $y$ are related by the equation $x=\displaystyle\int_0^y \frac{1}{\sqrt{1+4t^2}}\,dt$ . Find $\dfrac{dy}{dx}$ . Answer : \underline{\quad(1)\quad}

解答

思路

展開

先由微積分基本定理求 $\mathrm{d}x/\mathrm{d}y$ ，再取倒數得到所求導數。

答題過程

展開

對

x=\int_0^y\frac1{\sqrt{1+4t^2}}\,\mathrm{d}t

兩側對 $y$ 微分，得

\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac1{\sqrt{1+4y^2}}.

因此

\boxed{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\sqrt{1+4y^2}}.