1. 本題要求尋找多元函數 $f(x, y) = e^y (y^2 - x^2)$ 的所有鞍點 (Saddle Points)。
2. 第一步：尋找臨界點：
   • 我們計算一階偏導數並令其為 $0$：
     • $f_x = -2x e^y = 0 \implies x = 0$ (因為 $e^y \neq 0$)
     • $f_y = e^y(y^2 - x^2) + e^y(2y) = e^y(y^2 - x^2 + 2y) = 0$
   • 將 $x=0$ 代入 $f_y = 0$： $e^y(y^2 + 2y) = 0 \implies y(y+2) = 0 \implies y = 0 \text{ 或 } y = -2$
   • 由此可得兩個臨界點： $P_1(0, 0)$ 與 $P_2(0, -2)$。
3. 第二步：利用二階導數審斂法判別極值性質：
   • 計算二階偏導數 $f_{xx}$、 $f_{xy}$、 $f_{yy}$：
     • $f_{xx} = -2e^y$
     • $f_{xy} = -2xe^y$
     • $f_{yy} = e^y(y^2 - x^2 + 4y + 2)$
   • 計算判別式 $D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2$：
     • 若 $D < 0$，則該點為鞍點。
     • 若 $D > 0$，則該點為局部極值點（ $f_{xx} < 0$ 為極大， $f_{xx} > 0$ 為極小）。

第一步：尋找臨界點

我們對函數 $f(x, y) = e^y (y^2 - x^2)$ 求一階偏導：

令一階偏導皆為 $0$ 以求解臨界點：

由於對於任意實數 $y$，指數項 $e^y > 0$ 恆成立：

• 由式 (1) 得到 $x = 0$。
• 將 $x = 0$ 代入式 (2)： $$e^y \left( y^2 + 2y \right) = 0 \implies y(y+2) = 0 \implies y = 0 \quad \text{或} \quad y = -2$$

因此，函數共有兩個臨界點，分別為：

第二步：計算二階偏導與判別式

我們對一階偏微再次微分，求得二階偏導：

二階導數判別式為：

接下來我們分別對兩個臨界點進行性質判別：

1. 對於點 $P_1(0, 0)$： 將坐標代入二階偏導數：

   • $f_{xx}(0, 0) = -2e^0 = -2$
   • $f_{xy}(0, 0) = 0$
   • $f_{yy}(0, 0) = e^0 (0 - 0 + 0 + 2) = 2$

   計算判別式：

   $$D(0, 0) = (-2)(2) - 0^2 = -4$$

   因為 $D(0, 0) < 0$，所以臨界點 $(0, 0)$ 是函數的一個鞍點。

2. 對於點 $P_2(0, -2)$： 將坐標代入二階偏導數：

   • $f_{xx}(0, -2) = -2e^{-2}$
   • $f_{xy}(0, -2) = 0$
   • $f_{yy}(0, -2) = e^{-2} \big( (-2)^2 - 0 + 4(-2) + 2 \big) = e^{-2}(4 - 8 + 2) = -2e^{-2}$

   計算判別式：

   $$D(0, -2) = \left(-2e^{-2}\right)\left(-2e^{-2}\right) - 0^2 = 4e^{-4} > 0$$

   因為 $D(0, -2) > 0$，且此時二階偏導 $f_{xx}(0, -2) = -2e^{-2} < 0$，所以臨界點 $(0, -2)$ 是函數的局部極大值點（而非鞍點）。

結論： 函數唯一的鞍點座標為 $(0, 0)$。