題目

Problem

9. Evaluate

\oint_C (y^2 + \sin x)\,\mathrm{d}x + (3xy - e^y)\,\mathrm{d}y \,,

where $C$ is the boundary of the semiannular region $D$ in the upper half-plane between the circles $x^2 + y^2 = 4$ and $x^2 + y^2 = 9$ . (10%)

解答

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本題要求計算平面閉曲線的線積分 $\oint_C P\,\mathrm{d}x + Q\,\mathrm{d}y$ 。
由於積分曲線 $C$ 是上半平面夾在兩圓 $x^2+y^2=4$ 與 $x^2+y^2=9$ 之間的半圓環區域的邊界（已封閉），這強烈提示我們使用格林定理 (Green’s Theorem)。
第一步：應用格林定理： $\oint_C P\,\mathrm{d}x + Q\,\mathrm{d}y = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 其中 $P = y^2 + \sin x$ 、 $Q = 3xy - e^y$ 。計算偏導數差值： $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 3y - 2y = y$ 。
第二步：在極座標下計算二重積分 $\iint_D y \,\mathrm{d}A$ ：半圓環區域的極座標範圍： $0 \le \theta \le \pi, \quad 2 \le r \le 3$ 將 $y = r\sin\theta$ 代入，寫成累次積分求解即可。

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設被積函數分量為：

P(x, y) = y^2 + \sin x, \quad Q(x, y) = 3xy - e^y

根據格林定理，此線積分可轉化為其圍成區域 $D$ 上的二重積分：

\oint_C P\,\mathrm{d}x + Q\,\mathrm{d}y = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y

計算對應的偏導數：

\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(3xy - e^y) = 3y, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(y^2 + \sin x) = 2y

因此：

\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 3y - 2y = y

我們引入極座標系來描述半圓環區域 $D$ ：

x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad \mathrm{d}x\mathrm{d}y = r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta

其極座標界限為：

0 \le \theta \le \pi, \quad 2 \le r \le 3

代入二重積分計算：

\begin{align*} I =&\, \iint_D y \,\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\[4mm] =&\, \int_0^{\pi} \int_2^3 (r\sin\theta) \cdot r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \\[4mm] =&\, \left( \int_0^{\pi} \sin\theta \,\mathrm{d}\theta \right) \left( \int_2^3 r^2 \,\mathrm{d}r \right) \\[4mm] =&\, \left[ -\cos\theta \right]_0^{\pi} \cdot \left[ \frac{1}{3}r^3 \right]_2^3 \\[4mm] =&\, (1 - (-1)) \cdot \frac{1}{3} (3^3 - 2^3) \\[4mm] =&\, 2 \cdot \frac{1}{3} (27 - 8) \\[4mm] =&\, 2 \cdot \frac{19}{3} = \frac{38}{3} \,. \end{align*}