1. 本題要求在單位球體 $B$ 上計算三重積分 $\iiint_B e^{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \,\mathrm{d}V$。
2. 積分區域是球體，且被積函數中包含 $x^2+y^2+z^2$。這提示我們應使用球面座標變換 (Spherical Coordinates)。
3. 第一步：換元：
   • $x^2 + y^2 + z^2 = \rho^2$。
   • 體積微元 $\mathrm{d}V = \rho^2 \sin\phi\,\mathrm{d}\rho\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi$。
4. 第二步：確定積分範圍： 整個單位球對應的範圍為： $0 \le \rho \le 1, \ 0 \le \theta \le 2\pi, \ 0 \le \phi \le \pi$。
5. 第三步：進行累次積分： 將三部分分拆進行積分計算，其中 $\rho$ 的部分利用 $u = \rho^3$ 進行代換。

我們引入球面座標系：

其中：

對於整個單位球體 $B$，球面座標的範圍為：

將其寫為累次積分形式：

我們分別計算這三個獨立的積分項：

1. $\int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta = 2\pi$
2. $\int_0^{\pi} \sin\phi \,\mathrm{d}\phi = \left[ -\cos\phi \right]_0^{\pi} = -\cos\pi - (-\cos 0) = 1 + 1 = 2$
3. $\int_0^1 e^{\rho^3} \rho^2 \,\mathrm{d}\rho = \frac{1}{3} \int_0^1 e^{\rho^3} \,\mathrm{d}(\rho^3) = \frac{1}{3} \left[ e^{\rho^3} \right]_0^1 = \frac{1}{3}(e - 1)$

將各部分相乘：